课程已经完结,真是拖延症,这个笔记还没做完,罪过~~赶紧抓紧补完……

上一节课的内容是扩散,比较适合简单的传染病传播建模,然后这一节课的主题有一点不同,尽管也属于某种扩散,但由于整个网络中所有结点具有决策能力,因此不再是简单的概率随机扩散。

1.Bayesian Learning

假设在一个大小为n的无向连通分量(undirected component)里,每个结点单位在每单位时间内可以进行一次决策,选择执行A或者B,对于这两个选择,A会带来1的收益(payoff),B则可能有概率p带来收益2或者概率1-p带来收益0;每单位时间内每个结点都根据其决策结果获得对应的收益,同时还会关注所有其他邻居的选择,并且所有结点都并不知道p到底是多大,他们的共同目的是使自己在整个时间流上的收益和最大。

显然,如果p是已知的,我们只需要比较p和 的关系就能知道应该做出什么选择,但因为p未知,因此每个结点都需要观察邻居结点的行为来判断p可能的大小是多少,然后再做出相应的决定。

课程对于这一问题首先提出了一个命题:只要p不是正好等于 ,那么在未来某一时刻,网络中所有结点最终将会做出相同的选择(A或B),证明比较简单,如下:

  • 假设相反的情况,一部分结点一直选择A,其余结点选择B;
  • 根据大数定律,后一部分结点将会最终得到一个非常非常接近真实值的p,而这个值一定大于0.5 ,否则他们应该已经改变选择了;
  • 另一方面,所有与那些一直选择B的结点相连的结点最终也会选择B,因为他们看到其他结点一直选择B,就会知道这些结点计算出的p应该是比较接近真实值的;
  • 于是所有结点都最终选择了B。

等等,上面这个命题似乎只是说最终所有结点会做出相同的选择,但是并没有提到这个选择是否正确,即是否把收益最大化了。

首先假设p< ,类似于上面的证明,可以得出即使有一些结点一开始选择了B,但是根据大数定律,最终这些结点一定会发现p应该是小于 的,进而导致其邻居结点也最终选择A;再假设p> ,那么问题来了,如果有一些结点比较顽固,初始就比较相信应该选择A,需要很长的时间才能被其他结点说服去选择B,这时候如果运气好他周围有足够的初始选择B的结点,那么整个网络可能最终一起选择B,但如果没有的话,后果就可能会是整个网络一起选择了A,即做出了一个错误的判断。

2.DeGroot Model

考虑了不包含太多网络结构的简单情况,再考虑一下稍微复杂一些的情况,假设某个网络中有n个结点,T是权重矩阵,其中元素 表示i在参考j结点所做选择时的权重,如果每个结点初始对p的估计为 ,那么t时刻有 ,好吧,这个熟悉的概率传播公式又出来了,Markov process真是无所不在无所不能……

接下来又是对 收敛的分析,不过很有趣,之前我们讨论 是否收敛时是根据Perron-Frobenius定律,如果 并且T是Primitive的,则无论 等于多少,最终都会收敛,不过这回slides中介绍了一个奇特(怪)的方法:

T is aperiodic if the greatest common divisor of its cycle lengths is one

这里所说的cycle lengths实际上是根据传播矩阵T画出的概率传播图中所有环的长度,如果这些cycle lengths最大公约数为1,则T是aperiodic的,意味着 是收敛的

aperiodic至今也不太明白这个aperiodic和Perron定律是个什么联系,o(╯□╰)o

另外,由于这个Markov过程最终稳态其实就是T的特征值为1对应的特征向量,因此每个结点的influence就正好对应了其eigenvector centrality