之前几节课涉及到的网络大多属于概率随机网络,即结点之间是否存在边是服从一定概率分布的,而这节课即使从名字上看也能发现一些不同,Strategic Network Formation既然包含了Stragetic这个词,那么我们的网络中所有边的构成显然不能在听天由命丢骰子决定了,具体如下。

1.An Economic Analysis

首先是一个经济学中的例子,引入变量 为”payoff to i if the network is g”,即在g网络中(无向图),结点i可以获得的收益,那么我们应该如何定义这个变量的计算公式呢?Slides里给了一个很简洁的方式:

  • $$0<\delta<1$$ 为任意两个结点之间如果存在边时这两个结点可以获得的benefit
  • $$0<c_{ij}$$ 是维护任意两个结点之间连接的花费(这里的连接不一定是两点直接相连)
  • $$l(i, j)$$ 是结点i,j之间的最短距离
  • 定义 $$u_i(g) = \sum_j\delta^{l(i,j)}-\sum_{j\text{ in }N_i(g)}c_{ij}$$

注意,在这个公式定义中,一个结点的收益需要考虑连接的收益和开销两方面,前者包括建立连接的数量和每条连接的距离(每条连接随着距离增大,收益变小),后者只考虑i结点与其邻居构成边的数量,距离大于1的连接不再考虑,举个例子,下图显示了根据这个公式计算出的各结点的收益值:1

这种网络模型很符合现实中许多不同网络的特性,任何两个人之间要维护比较好的友情/工作/爱情关系都需要付出一些东西(时间、精力等),但同时又能从中得到很多收获,并且通常来说,具有直接联系的两个人/公司,活动会比较密切,得到的收获/收益也会越多,而间接联系的两个人,随着路径长度边长,得到的收益也会逐渐衰减,对于维持两个人/公司的连接,一般来说也只需要维护具有直接交互关系的那些结点,不需要考虑间接相连的。

2.Pairwise Stability and Efficiency

既然定义了网络中各个结点的payoff,那么现在我们可以开始考虑评价一个网络的好与坏了。想象人类的关系网络,比如某人刚刚成立了一个创业公司,假设所有员工彼此都不太认识,那么随着时间的推移,这些员工之间会逐渐建立一些连接,比如技术人员可能在小组内部的活动比较频繁,与市场部、财务部的员工不太熟悉,而产品部的员工因为要涉及到各个方面,可能和财务部、市场部、技术部的员工都很熟悉,那么最终这个公司的人际关系网络可能在大尺度上会达到一个稳态,下面我们来模拟这种行为,假设两个结点之间建立一条边需要两个结点同时同意,如果整个网络中任意一个结点改变他和其他结点的announcement状态均不可能使收益变大,那么我们称这个网络达到了一种平衡状态(Nash equilibrium)。

1上图中,两个点neither announce或者both announce两种情况都属于Nash equilibrium,如果一个announce一个不announce(即一个想建立连接,一个不想),则不属于。

除此之外,定义一种叫做Pairwise Stability的平衡状态,如果图g同时满足下面两个条件:

  • 任何一个结点都不能通过删除包含此结点的边来增大 $$u_i(g)$$
  • 没有两个结点通过增加一条连接它们的边可以同时增大各自的收益
  • 用公式来表示上面两个条件即为:

    <u_j(g), for=”” ij=”” in=”” not=”” p=””></u_j(g),>

    在前一个图中,第一种情况属于Nash equilibrium,但是不符合Pairwise Stability的条件,因为通过添加一条边之后两个结点的payoff均得到了增加,而第二种情况则符合,处于Pairwise Stability状态。

    考虑了平衡相关的评判方式,现在说一说评判一个图“好”与“坏”的方式:

    • Pareto efficient:如果网络g不存在一个子网络 $$g'$$ 满足 $$u_i(g)\le u_i(g'), \forall i$$ ;
    • Efficient:g最大化 $$\sum u_i(g')$$

    注意,Pareto efficient定义的反例是存在一个子网络 使得该子网络中每个结点的payoff都比g中对应结点要大,而不是某一个结点,Efficient是指网络中所有结点的总收益最大化,下图非常详细的展示了Pareto efficient、Efficient和Pairwise Stable的区别:

    2

    3.Connections Model

    现在回到1中所定义的payoff,非常明显,参数 的值影响到了一个网络中各个结点收益的大小:

  • low cost网络: $$c<\delta-\delta^2$$ ,完全图是唯一的满足efficient条件的网络;
  • medium cost网络: $$\delta-\delta^2<c<\delta+(n-2)\delta^2/2$$ ,包含所有结点的星形图是唯一满足efficient性质的网络;
  • high cost网络: $$\delta+(n-2)\delta^2/2<c$$ ,不包含任何边的empty network是唯一满足efficient性质的网络。
  • Slides中有对这三条结论的简单证明,有兴趣的话可以看一看,这里就不抄公式了。

    上面三条结论主要是针对efficient进行分析,如果考虑到Pairwise Stable的话则会稍微复杂一些:

  • low cost网络: $$c<\delta-\delta^2$$ ,完全图满足Pairwise Stable条件;
  • medium/low cost网络: $$\delta-\delta^2<c<\delta$$ ,包含所有结点的星形图满足Pairwise Stable性质,但不唯一;
  • medium/high cost网络: $$\delta<c<\delta+(n-2)\delta^2/2$$ ,包含所有结点的星形图不满足Pairwise Stable性质
  • high cost网络: $$\delta+(n-2)\delta^2/2<c$$ ,不包含任何边的empty network满足Pairwise Stable性质
  • 4.Externalities

    上面依次介绍了结点的平衡状态和网络的“好”与“坏”,那么现在来看一看边的“好”与“坏”:

    • Positive: $$u_k(g+ij)?\ge u_k(g)$$ if ij not in g for every k≠i,j
    • Negative: $$u_k(g+ij)?\le?u_k(g)$$ if ij not in g for every k≠i,j

    直接点来说,上面两个性质的意思就是,如果添加一条边ij不会让任意一个结点的收益降低,则称这条边是Positive的,如果不会让任意一个结点的收益升高,则称这条边是Negative的,因此添加Positive的边总是可以增加网络的总收益,添加Negative的边总是降低网络的总收益。

    5.Heterogeneity in Strategic Models

    这一部分再一次提到了Small World模型,通过上面讲述的payoff定义,可以很容易的解释出小世界模型的几个特点:

    •  low costs to local links – high clustering
    •  high value to distant connections – low diameter
    •  high cost of distant connections – few distant links