一，基本概念

1.首先，以矩形(rectangle)为例，建立体积(volume)的度量(measure)概念：

“In \(\mathbb R\) we use intervals, while in \({\mathbb R}^d\) we take products of intervals.”

也就是说，把矩形 \(R=[a_1, b_1]\times [a_2, b_2] \times \cdots \times [a_d, b_d]\) 的体积定义为： \(\|R\|=(b_1-a_1)\cdots(b_d-a_d)\)

2.对于任意一个一维开集，它总是可以由可数(countable)个不相交(disjoint)开集求并得到，但是对于任意一个 \({\mathbb R}^d (d>1)\) 空间里的开集而言，情况有些不同，它可以由可数的不相交闭集求并得到，如果不考虑这些闭集边界重叠的话。

3.compact set: bounded and closed set.

并且，任意一个compact set的开覆盖( \(E \in \cup_\alpha {\mathcal O}_\alpha\) )，都包含一个有限子覆盖(finite subcovering)， \(E \in \bigcup_{j=1}^N {\mathcal O}_{\alpha_j}\) 。

4.limit point, isolated point, interior point, closure, boundary.

5.对于一个rectangle的集合，如何里面每个rectangle的内点都不相交，则称这个rectangle集合almost disjoint。

6.对于任意一个 \({\mathbb R}^d (d \ge 1)\) 空间上的开子集 \(\mathcal O\) ，它总是可以写成可数个almost disjoint closed cubes的并集。

7.Cantor set: 闭集，有界，compact，totally disconnected，测度（长度）为0，无穷多元素，每个点都不是孤点(isolated point)，not countable。

8.外测度(exterior measure):

\(m_*(E)=\inf\sum^{\infty}_{j=1}\|Q_j\|\) , with \(E \in \bigcup_{j=1}^\infty {\mathcal Q}_j\)

where \(Q_j (j=1,2, \cdots)\) are closed cubes.

exterior measure与6中定义的形式正好相反，对于任意一个开（闭）集，我们可以从它的开覆盖入手，寻求测量它的方法，也就是找到该集合测度最小的一个开覆盖，且这个最小开覆盖由一系列close cubes构成。

对于exterior measure而言，主要有以下五条性质：

(1)Monotonicity: \(E_1 \in E_2 \Rightarrow m_*(E_1) \le m_*(E_2)\) .

(2)Countable sub-additivity: \(E=\bigcup_{j=1}^\infty E_j \Rightarrow m_*(E) \le \sum_{j=1}^\infty m_*(E_j)\) .

(3) \(E \in {\mathbb R}^d \Rightarrow m_*(E)=\inf m_*({\mathcal O})\) , where \(E \in {\mathcal O}\) .

(4) \(E=E_1 \cup E_2\) and \(d(E_1,E_2)>0 \Rightarrow m_*(E)=m_*(E_1)+m_*(E_2)\) .

(5) \(E=\bigcup_{j=1}^\infty Q_j \Rightarrow m_*(E)=\sum_{j=1}^\infty \|Q_j\|\) , where \(Q_j\) are countable almost disjoint cubes.

9.勒贝格可测(Lebesgue measurable)：满足对任意一个 \(\epsilon\) ，存在一个开集 \(\mathcal O\) 满足 \(E\in {\mathcal O}\) 和 \(m_*({\mathcal O}-E) \le \epsilon\) 。