之前几节课涉及到的网络大多属于概率随机网络，即结点之间是否存在边是服从一定概率分布的，而这节课即使从名字上看也能发现一些不同，Strategic Network Formation既然包含了Stragetic这个词，那么我们的网络中所有边的构成显然不能在听天由命丢骰子决定了，具体如下。
1.An Economic Analysis
首先是一个经济学中的例子，引入变量 \(u_i(g)\) 为”payoff to i if the network is g”，即在g网络中（无向图），结点i可以获得的收益，那么我们应该如何定义这个变量的计算公式呢？Slides里给了一个很简洁的方式：
- $$0<\delta<1$$ 为任意两个结点之间如果存在边时这两个结点可以获得的benefit
- $$0<c_{ij}$$ 是维护任意两个结点之间连接的花费（这里的连接不一定是两点直接相连）
- $$l(i, j)$$ 是结点i,j之间的最短距离
- 定义 $$u_i(g) = \sum_j\delta^{l(i,j)}-\sum_{j\text{ in }N_i(g)}c_{ij}$$
注意，在这个公式定义中，一个结点的收益需要考虑连接的收益和开销两方面，前者包括建立连接的数量和每条连接的距离（每条连接随着距离增大，收益变小），后者只考虑i结点与其邻居构成边的数量，距离大于1的连接不再考虑，举个例子，下图显示了根据这个公式计算出的各结点的收益值：
这种网络模型很符合现实中许多不同网络的特性，任何两个人之间要维护比较好的友情/工作/爱情关系都需要付出一些东西（时间、精力等），但同时又能从中得到很多收获，并且通常来说，具有直接联系的两个人/公司，活动会比较密切，得到的收获/收益也会越多，而间接联系的两个人，随着路径长度边长，得到的收益也会逐渐衰减，对于维持两个人/公司的连接，一般来说也只需要维护具有直接交互关系的那些结点，不需要考虑间接相连的。
2.Pairwise Stability and Efficiency
既然定义了网络中各个结点的payoff，那么现在我们可以开始考虑评价一个网络的好与坏了。想象人类的关系网络，比如某人刚刚成立了一个创业公司，假设所有员工彼此都不太认识，那么随着时间的推移，这些员工之间会逐渐建立一些连接，比如技术人员可能在小组内部的活动比较频繁，与市场部、财务部的员工不太熟悉，而产品部的员工因为要涉及到各个方面，可能和财务部、市场部、技术部的员工都很熟悉，那么最终这个公司的人际关系网络可能在大尺度上会达到一个稳态，下面我们来模拟这种行为，假设两个结点之间建立一条边需要两个结点同时同意，如果整个网络中任意一个结点改变他和其他结点的announcement状态均不可能使收益变大，那么我们称这个网络达到了一种平衡状态(Nash equilibrium)。
上图中，两个点neither announce或者both announce两种情况都属于Nash equilibrium，如果一个announce一个不announce（即一个想建立连接，一个不想），则不属于。
除此之外，定义一种叫做Pairwise Stability的平衡状态，如果图g同时满足下面两个条件：
用公式来表示上面两个条件即为：
\[u_i(g)\ge u_i(g-ij), \text{ for ij in g}\]\(u_i(g+ij)>u_i(g)\Rightarrow u_j(g+ij)\) <u_j(g), for=”” ij=”” in=”” not=”” p=””></u_j(g),>
在前一个图中，第一种情况属于Nash equilibrium，但是不符合Pairwise Stability的条件，因为通过添加一条边之后两个结点的payoff均得到了增加，而第二种情况则符合，处于Pairwise Stability状态。
考虑了平衡相关的评判方式，现在说一说评判一个图“好”与“坏”的方式：
- Pareto efficient：如果网络g不存在一个子网络 $$g'$$ 满足 $$u_i(g)\le u_i(g'), \forall i$$ ；
- Efficient：g最大化 $$\sum u_i(g')$$
注意，Pareto efficient定义的反例是存在一个子网络 \(g'\) 使得该子网络中每个结点的payoff都比g中对应结点要大，而不是某一个结点，Efficient是指网络中所有结点的总收益最大化，下图非常详细的展示了Pareto efficient、Efficient和Pairwise Stable的区别：
3.Connections Model
现在回到1中所定义的payoff，非常明显，参数 \(\delta\) 和 \(c\) 的值影响到了一个网络中各个结点收益的大小：
Slides中有对这三条结论的简单证明，有兴趣的话可以看一看，这里就不抄公式了。
上面三条结论主要是针对efficient进行分析，如果考虑到Pairwise Stable的话则会稍微复杂一些：
4.Externalities
上面依次介绍了结点的平衡状态和网络的“好”与“坏”，那么现在来看一看边的“好”与“坏”：
- Positive: $$u_k(g+ij)?\ge u_k(g)$$ if ij not in g for every k≠i,j
- Negative: $$u_k(g+ij)?\le?u_k(g)$$ if ij not in g for every k≠i,j
直接点来说，上面两个性质的意思就是，如果添加一条边ij不会让任意一个结点的收益降低，则称这条边是Positive的，如果不会让任意一个结点的收益升高，则称这条边是Negative的，因此添加Positive的边总是可以增加网络的总收益，添加Negative的边总是降低网络的总收益。
5.Heterogeneity in Strategic Models
这一部分再一次提到了Small World模型，通过上面讲述的payoff定义，可以很容易的解释出小世界模型的几个特点：
- low costs to local links – high clustering
- high value to distant connections – low diameter
- high cost of distant connections – few distant links
