一,基本概念

1.首先,以矩形(rectangle)为例,建立体积(volume)的度量(measure)概念:

“In we use intervals, while in we take products of intervals.”

也就是说,把矩形 的体积定义为:

2.对于任意一个一维开集,它总是可以由可数(countable)个不相交(disjoint)开集求并得到,但是对于任意一个 空间里的开集而言,情况有些不同,它可以由可数的不相交闭集求并得到,如果不考虑这些闭集边界重叠的话。

3.compact set: bounded and closed set.

并且,任意一个compact set的开覆盖( ),都包含一个有限子覆盖(finite subcovering),

4.limit point, isolated point, interior point, closure, boundary.

5.对于一个rectangle的集合,如何里面每个rectangle的内点都不相交,则称这个rectangle集合almost disjoint。

6.对于任意一个 空间上的开子集 ,它总是可以写成可数个almost disjoint closed cubes的并集。

7.Cantor set: 闭集,有界,compact,totally disconnected,测度(长度)为0,无穷多元素,每个点都不是孤点(isolated point),not countable。

8.外测度(exterior measure):

, with

where are closed cubes.

exterior measure与6中定义的形式正好相反,对于任意一个开(闭)集,我们可以从它的开覆盖入手,寻求测量它的方法,也就是找到该集合测度最小的一个开覆盖,且这个最小开覆盖由一系列close cubes构成。

对于exterior measure而言,主要有以下五条性质:

(1)Monotonicity: .

(2)Countable sub-additivity: .

(3) , where .

(4) and .

(5) , where are countable almost disjoint cubes.

9.勒贝格可测(Lebesgue measurable):满足对任意一个 ,存在一个开集 满足